Métodos Numéricos


Definiciones
Errores

Obtención de Raíces
    - Newton Raphson
      Newton Raphson Applet
    - Bisección
      Bisección Applet

Sistemas de Ecuaciones Lineales
    - Jacobi
      Jacobi Applet
    - Gauss-Seidel
      Gauss-Seidel Applet

Interpolación
    - Newton
      Newton Applet
    - Lagrange
      Lagrange Applet

Integración
    - Trapezoidal
      Trapezoidal Applet
    - Simpson 1/3
      Simpson 1/3 Applet
    - Simpson 3/8
      Simpson 3/8 Applet

Ecuaciones Diferenciales
    - Euler
      Euler Applet
    - Euler Mejorado
      Euler Mejorado Applet
    - Runge-Kutta orden 4
      Runge-Kutta orden 4 Applet

Referencias


 

Newton Raphson

Este método es uno de los mas utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y siempre converge para una función polinomial.

Se requiere que las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, para poder aplicar este método.

Se debe partir de  un valor inicial para la raíz: xi , este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz mas cercana.

Si se extiende una tangente desde el punto b , el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

 

La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta.

Pendiente de una recta:

g  

i

j

k

l

h

                 

Hay que determinar un numero máximo de iteraciones

Normalmente esto se hace considerando una “tolerancia” , esto es:

El valor absoluto de la diferencia de la m debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada.

Una de las fórmulas de error mas útiles es la del error relativo porcentual aproximado:

         n 100 %

El método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente, es decir, el error es aproximadamente al cuadrado del error anterior.

Esto significa que el numero de cifras decimales correctas se duplica aproximadamente en cada interacción.

Cuando el método de Newton-Raphson converge, se obtienen resultados en relativamente pocas interacciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2 y el error Ei+1 es proporcional al cuadrado del resultado anterior Ei

Supóngase que el error en una iteración es 10-n el error en la siguiente, (que es proporcional al cuadrado del  error anterior) es entonces aproximadamente 10-2n, el que sigue será aproximadamente 10-4n etc.

De esto puede afirmarse que de cada iteración duplica aproximadamente el numero de dígitos correctos.

Sin embargo el método de Newton-Raphson algunas veces no converge, sino que oscila. Esto ocurre si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial esta muy alejado de la raíz buscada  y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración.

Bibliografía:

                 [Burden,1998]          páginas 65-71.

                 [Chapra  1999]         páginas 156-162.

                 [Curtis,1991]            páginas 14-21.

                 [Iriarte,1990]             páginas 35-43.

                 [James,1973]           páginas 154-160.

                 [Maron, 1995]            páginas 73-78.

                 [Nakamura,1992]     páginas 73-76.

                 [Nieves,1999]            páginas 46-49.

                 [Smith,1988]              páginas 115-123.

 

 

 
       


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